Системы линейных уравнений

Иногда нужно найти пару чисел $(x;\,y)$, которая подходит сразу к двум уравнениям. Тогда говорят, что дана система уравнений. Систему записывают с фигурной скобкой:$$\begin{cases} x+y=7\\ 2x-y=2 \end{cases}$$

Решением системы называют пару чисел, при которой оба уравнения превращаются в верные равенства. Пара $(3;\,4)$ является решением этой системы, потому что $3+4=7$ и $2\cdot 3-4=2$.

Способ подстановки. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение. Пример:$$\begin{cases} y=x+1\\ x+y=9 \end{cases}$$Подставляем:$$x+x+1=9,\quad 2x=8,\quad x=4,\quad y=5.$$

Способ сложения. Если при одной переменной стоят противоположные коэффициенты, уравнения складываем, и эта переменная пропадает. Пример:$$\begin{cases} x+y=10\\ x-y=4 \end{cases}$$Складываем: $2x=14$, $x=7$, тогда $y=3$. Иногда сначала одно из уравнений умножают на число, чтобы коэффициенты стали противоположными.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Решение системы есть координаты точки пересечения двух прямых. На рисунке прямые $x+y=7$ и $2x-y=2$ пересекаются в точке $(3;\,4)$.

Если прямые параллельны, система не имеет решений. Если прямые совпадают, решений бесконечно много. Пример: у системы$$\begin{cases} x+y=2\\ x+y=5 \end{cases}$$решений нет.