Разложение на множители
Теория
Разложить многочлен на множители значит записать его в виде произведения. Это действие обратно раскрытию скобок.
Вынесение общего множителя за скобки. Находим множитель, который входит в каждый член, и делим на него каждый член. Пример:$$6x^2-9x=3x(2x-3).$$Проверка: $3x\cdot 2x-3x\cdot 3=6x^2-9x$.
Способ группировки. Члены собираем в группы, из каждой группы выносим общий множитель, а потом выносим общую скобку. Пример:$$ax+ay+2x+2y=a(x+y)+2(x+y)=(x+y)(a+2).$$
Применение формул. Формулы сокращённого умножения читаем справа налево:$$x^2-49=(x-7)(x+7),\quad x^2+6x+9=(x+3)^2,$$$$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4).$$
Сначала выносим общий множитель, потом смотрим, не подходит ли формула. Пример:$$2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3).$$
Разложение помогает решать уравнения. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Пример: $x^2-5x=0$, $x(x-5)=0$, значит $x=0$ или $x=5$.
Разобранный пример
Разложите на множители многочлен $3x^3-12x$.
1) Общий множитель всех членов $3x$:$$3x^3-12x=3x(x^2-4).$$
2) В скобках разность квадратов:$$x^2-4=x^2-2^2.$$
3) По формуле:$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$
Ответ: $3x(x-2)(x+2)$.
Тренировка
Вынесите общий множитель за скобки: $8a^2-12a$.
Разложите на множители: $x^2-64$.
Разложите на множители способом группировки: $$ab-3a+2b-6.$$
Решите уравнение $x^2-7x=0$. В ответ запишите корень, отличный от нуля.
Вычислите удобным способом: $$37^2+2\cdot 37\cdot 13+13^2.$$
Решите уравнение $2x^3-32x=0$. В ответ запишите наибольший корень.