Теоремы синусов и косинусов
Теория
В треугольнике $ABC$ обозначим стороны так: $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Сторона $a$ лежит напротив угла $A$, сторона $b$ напротив угла $B$, сторона $c$ напротив угла $C$.
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos C.$$ Пример: $a=5$, $b=8$, $\angle C=60^\circ$, тогда $c^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot\dfrac{1}{2}=49$, $c=7$.
По трём сторонам теорема косинусов даёт угол: $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$ Если $\cos C<0$, то угол $C$ тупой.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$ Здесь $R$ радиус описанной окружности. Пример: $a=6$, $\angle A=30^\circ$, тогда $2R=6:\dfrac{1}{2}=12$, $R=6$.
Тупые углы. $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha.$$ Поэтому $\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}$, $\sin 135^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 135^\circ=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 150^\circ=\dfrac{1}{2}$, $\cos 150^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Разобранный пример
В треугольнике $ABC$ стороны $AB=3$, $AC=5$, угол $A$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.
1) Угол $A$ лежит между сторонами $AB$ и $AC$, поэтому применяем теорему косинусов.
2) Записываем теорему косинусов: $$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos 120^\circ.$$
3) $\cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}$, поэтому $$BC^2=9+25+15=49.$$
4) $BC=7$.
Ответ: 7.
Тренировка
В треугольнике $ABC$ стороны $AC=8$, $BC=3$, угол $C$ равен $60^\circ$. Найдите $AB$.
В треугольнике $ABC$ сторона $BC=10$, угол $A$ равен $30^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $45^\circ$, угол $B$ равен $30^\circ$, $BC=6\sqrt{2}$. Найдите $AC$.
Стороны треугольника равны 5, 7 и 8. Найдите угол, который лежит напротив стороны 7. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ABC$ стороны $AB=4$, $AC=6$, угол $A$ равен $120^\circ$. Найдите квадрат стороны $BC$.
В треугольнике $ABC$ стороны $AB=3\sqrt{2}$, $AC=5$, угол $A$ равен $135^\circ$. Найдите $BC$.