Системы уравнений второй степени
Теория
Система уравнений второй степени содержит хотя бы одно уравнение второй степени. Пример: $$\begin{cases} x^2+y^2=25\\ x+y=7. \end{cases}$$ Решением системы называется пара чисел $(x;\,y)$, которая обращает в верное равенство каждое уравнение.
Способ подстановки. Из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем во второе уравнение. Получается квадратное уравнение с одной переменной. Для каждого его корня находим вторую переменную.
Пример: $$\begin{cases} y=x^2\\ y=x+2. \end{cases}$$ Подставляем: $x^2=x+2$, $x^2-x-2=0$, $x=2$ или $x=-1$. Тогда $y=4$ или $y=1$. Ответ: $(2;\,4)$ и $(-1;\,1)$.
Графический способ. Строим графики обоих уравнений в одной системе координат. Координаты точек пересечения дают решения системы. Сколько точек пересечения, столько и решений.
Уравнение $$x^2+y^2=r^2$$ задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $r$. Уравнение $y=kx+b$ задаёт прямую. Прямая и окружность могут иметь 0, 1 или 2 общие точки.
Способ сложения. Пример: $$\begin{cases} x^2+y^2=13\\ x^2-y^2=5. \end{cases}$$ Складываем: $2x^2=18$, $x^2=9$. Вычитаем: $2y^2=8$, $y^2=4$. Решения $(3;\,2)$, $(3;\,-2)$, $(-3;\,2)$, $(-3;\,-2)$.
Разобранный пример
Решите систему уравнений $$\begin{cases} x^2+y^2=25\\ y=x+1. \end{cases}$$
1) Подставляем $y=x+1$ в первое уравнение: $$x^2+(x+1)^2=25.$$
2) Раскрываем скобки и упрощаем: $$2x^2+2x+1=25,\quad x^2+x-12=0.$$
3) Решаем квадратное уравнение: $$D=1+48=49,\quad x=\frac{-1\pm 7}{2},$$ $x=3$ или $x=-4$.
4) Находим $y$: $$y=3+1=4,\quad y=-4+1=-3.$$
5) Окружность радиуса 5 и прямая пересекаются в двух точках.
Ответ: $(3;\,4)$ и $(-4;\,-3)$.
Тренировка
Является ли пара чисел $(2;\,3)$ решением системы $$\begin{cases} x^2+y=7\\ x+y=5? \end{cases}$$
Решите систему $$\begin{cases} x=3\\ x^2+y^2=25. \end{cases}$$ В ответе укажите значение $y$ для решения, у которого $y>0$.
Решите систему $$\begin{cases} y-x=2\\ xy=15. \end{cases}$$ В ответе укажите значение $y$ для решения, у которого $x>0$.
На рисунке изображены графики функций $y=x^2-2$ и $y=x$. Найдите решение системы $$\begin{cases} y=x^2-2\\ y=x, \end{cases}$$ у которого $x<0$. В ответе укажите $y$.
Решите систему $$\begin{cases} x^2+y^2=10\\ x-y=2. \end{cases}$$ В ответе укажите $x+y$ для решения, у которого обе координаты положительны.
Периметр прямоугольника 28 см, площадь $48\ \text{см}^2$. Найдите большую сторону прямоугольника. Ответ дайте в сантиметрах.