Квадратичная функция и парабола
Теория
Функция $$y=ax^2+bx+c,$$ где $a\ne 0$, называется квадратичной. Её график называется параболой.
Если $a>0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a<0$, ветви направлены вниз. Пример: у параболы $y=-2x^2+x$ ветви идут вниз, потому что $a=-2$.
Вершина параболы имеет абсциссу $$x_0=-\frac{b}{2a}.$$ Ординату $y_0$ находим подстановкой $x_0$ в формулу функции. Пример: $y=x^2-4x+3$, $x_0=\dfrac{4}{2}=2$, $y_0=4-8+3=-1$. Вершина $(2;\,-1)$.
Прямая $x=x_0$ является осью симметрии параболы. Точки графика, одинаково удалённые от оси, имеют одинаковую ординату.
Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0;\,c)$. Точки пересечения с осью $x$ находим из уравнения $ax^2+bx+c=0$. У параболы $y=x^2-4x+3$ это точки $(1;\,0)$ и $(3;\,0)$, а ось $y$ она пересекает в точке $(0;\,3)$.
Если $a>0$, наименьшее значение функции равно $y_0$. Если $a<0$, наибольшее значение равно $y_0$. Для построения графика отмечаем вершину, ось симметрии, точки пересечения с осями и точку, симметричную точке $(0;\,c)$.
Разобранный пример
Постройте график функции $$y=-x^2+2x+3.$$ Найдите наибольшее значение функции.
1) $a=-1<0$, ветви направлены вниз.
2) Находим вершину: $$x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,\quad y_0=-1+2+3=4.$$ Вершина $(1;\,4)$.
3) Ищем точки пересечения с осью $x$: $$-x^2+2x+3=0,\quad x^2-2x-3=0,$$ $x=-1$ или $x=3$. Точки $(-1;\,0)$ и $(3;\,0)$.
4) С осью $y$: $(0;\,3)$. Симметричная ей точка $(2;\,3)$.
5) Ветви вниз, поэтому наибольшее значение функции равно ординате вершины.
Ответ: 4.
Тренировка
Найдите значение функции $y=2x^2-3x+1$ при $x=-2$.
Куда направлены ветви параболы $y=-3x^2+x+5$?
Найдите абсциссу вершины параболы $y=x^2-6x+1$.
Найдите ординату вершины параболы $y=2x^2+8x+5$.
На рисунке изображён график функции $y=x^2+bx+c$. Найдите $c$.
Высота мяча, брошенного вверх, меняется по закону $h=20t-5t^2$, где $h$ в метрах, $t$ в секундах. На какую наибольшую высоту поднимется мяч? Ответ дайте в метрах.