Окружность: вписанные углы и касательная
Теория
Центральный угол имеет вершину в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Вписанный угол имеет вершину на окружности, а его стороны пересекают окружность. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Пример: $\angle AOB=100^\circ$, тогда вписанный угол $ACB$, который опирается на ту же дугу $AB$, равен $50^\circ$.
Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
Касательная имеет с окружностью одну общую точку. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Пример: радиус 6, расстояние от точки $P$ до центра 10, тогда отрезок касательной $PA=\sqrt{100-36}=8$.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $PA=PB$. Центр окружности лежит на биссектрисе угла $APB$.
Разобранный пример
Из точки $P$ проведены две касательные $PA$ и $PB$ к окружности с центром $O$. Угол $APB$ равен $50^\circ$. Найдите угол $AOB$.
1) Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным, поэтому углы $OAP$ и $OBP$ равны $90^\circ$.
2) Сумма углов четырёхугольника $OAPB$ равна $360^\circ$.
3) Находим угол $AOB$: $$\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-50^\circ=130^\circ.$$
Ответ: 130.
Тренировка
Центральный угол $AOB$ равен $84^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$, который опирается на ту же дугу $AB$. Ответ дайте в градусах.
Отрезок $AB$ является диаметром окружности. Точка $C$ лежит на окружности, угол $ABC$ равен $35^\circ$. Найдите угол $BAC$. Ответ дайте в градусах.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $105^\circ$. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.
Из точки $P$ проведена касательная $PA$ к окружности с центром $O$. Радиус окружности равен 5, $PO=13$. Найдите $PA$.
Из точки $P$ проведены касательные $PA$ и $PB$ к окружности с центром $O$. Угол $APB$ равен $72^\circ$. Найдите угол $OAB$. Ответ дайте в градусах.
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $K$. $AB=10$, $BC=12$, $AC=8$. Найдите $AK$.