Неравенства второй степени
Теория
Неравенство вида $$ax^2+bx+c>0$$ (или $<0$, $\ge 0$, $\le 0$), где $a\ne 0$, называется неравенством второй степени.
Решаем по шагам. 1) Находим корни уравнения $ax^2+bx+c=0$. 2) Схематично рисуем параболу: отмечаем корни на оси $x$ и направляем ветви вверх при $a>0$ или вниз при $a<0$. 3) Выписываем промежутки, где график выше оси $x$ (для знака $>$) или ниже оси $x$ (для знака $<$).
Пример: $x^2-x-6<0$. Корни $-2$ и 3, ветви вверх. Ниже оси парабола лежит между корнями. Ответ: $(-2;\,3)$.
Для того же трёхчлена $x^2-x-6>0$ берём части графика выше оси: $x<-2$ или $x>3$. Ответ: $(-\infty;\,-2)\cup(3;\,+\infty)$.
Если знак нестрогий ($\ge$ или $\le$), корни входят в ответ и на рисунке отмечаются закрашенными точками. Пример: $x^2-4\le 0$, ответ $[-2;\,2]$. При строгом знаке точки выколотые, скобки круглые.
Если $D<0$, парабола не пересекает ось $x$. Тогда $x^2+x+5>0$ верно при любом $x$, а неравенство $x^2+x+5<0$ решений не имеет.
Разобранный пример
Решите неравенство $$-x^2+2x+8\ge 0.$$ Сколько целых чисел являются его решениями?
1) Находим корни: $$-x^2+2x+8=0,\quad x^2-2x-8=0,$$ $$D=4+32=36,\quad x=\frac{2\pm 6}{2},$$ корни $-2$ и 4.
2) $a=-1<0$, ветви вниз. Выше оси $x$ парабола лежит между корнями.
3) Знак нестрогий, корни входят: $$-2\le x\le 4,$$ то есть $[-2;\,4]$.
4) Целые решения: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$. Их 7.
Ответ: 7.
Тренировка
Решите неравенство $$x^2-9<0.$$
Какое из чисел является решением неравенства $x^2-5x+4<0$?
Решите неравенство $$x^2+2x+7>0.$$
На рисунке изображён график функции $y=-x^2+x+6$. Сколько целых чисел являются решениями неравенства $-x^2+x+6>0$?
Решите неравенство $$2x^2-7x+3<0.$$ В ответе укажите сумму его целых решений.
Сколько целых чисел входит в область определения функции $y=\sqrt{12+x-x^2}$?