Квадратные уравнения (повторение)

Квадратным называется уравнение $$ax^2+bx+c=0,$$ где $a\ne 0$. Число $a$ называют старшим коэффициентом, $b$ вторым коэффициентом, $c$ свободным членом. Пример: в уравнении $2x^2-3x+1=0$ коэффициенты $a=2$, $b=-3$, $c=1$.

Дискриминант $$D=b^2-4ac.$$ Если $D>0$, у уравнения два корня: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.$$ Если $D=0$, корень один: $x=\dfrac{-b}{2a}$. Если $D<0$, корней нет. Пример: $x^2-5x+6=0$, $D=25-24=1$, $x=\dfrac{5\pm 1}{2}$, корни 3 и 2.

Неполные уравнения решаются без дискриминанта. Если $b=0$: $x^2-9=0$, $x^2=9$, $x=3$ или $x=-3$. Если $c=0$: $x^2-4x=0$, выносим $x$ за скобки: $x(x-4)=0$, корни 0 и 4.

Теорема Виета. Для уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, произведение корней равно $q$. Пример: $x^2-7x+10=0$, сумма корней 7, произведение 10, значит корни 2 и 5.

Если корни $x_1$ и $x_2$ известны, квадратный трёхчлен раскладывается на множители: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$ Пример: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.

Число корней видно и по графику $y=ax^2+bx+c$: это число точек, где парабола пересекает или касается оси $x$.