Геометрическая прогрессия
Теория
Геометрической прогрессией называют последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q$. Число $q$ называют знаменателем прогрессии. Члены прогрессии и знаменатель не равны нулю. Пример: $3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \ldots$ Здесь $q=2$.
Знаменатель находят делением любого члена на предыдущий: $q=b_2:b_1$. Для прогрессии $81,\ 27,\ 9,\ \ldots$ знаменатель $q=27:81=\dfrac{1}{3}$.
Формула $n$-го члена: $$b_n=b_1\cdot q^{n-1}.$$ Пример: $b_1=2$, $q=3$, тогда $b_5=2\cdot 3^4=162$.
Квадрат каждого члена, кроме первого, равен произведению соседних с ним членов: $$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.$$ Пример: в прогрессии $4,\ x,\ 25$ с положительными членами $x^2=4\cdot 25=100$, $x=10$.
Сумма первых $n$ членов: $$S_n=\frac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1},$$ если $q\ne 1$. Пример: $1+2+4+8+16=\dfrac{1\cdot(2^5-1)}{2-1}=31$.
Если $\lvert q\rvert<1$, прогрессию называют бесконечно убывающей. Её сумма $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$ Пример: $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.
Разобранный пример
В геометрической прогрессии $b_2=6$, $b_4=54$, знаменатель положительный. Найдите сумму первых пяти членов.
1) Так как $b_4=b_2\cdot q^2$, получаем: $$q^2=54:6=9.$$
2) $q>0$, значит $q=3$.
3) Находим первый член: $$b_1=b_2:q=6:3=2.$$
4) Находим сумму: $$S_5=\frac{2\cdot(3^5-1)}{3-1}=2\cdot 242:2=242.$$
Ответ: 242.
Тренировка
Найдите знаменатель геометрической прогрессии $128,\ 32,\ 8,\ \ldots$
В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=2$. Найдите $b_6$.
Числа 5, $x$ и 45 являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите $x$, если $x>0$.
В первый день Алишер прочитал 5 страниц, а в каждый следующий день читал вдвое больше, чем накануне. Сколько страниц он прочитал за 5 дней?
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $18,\ -6,\ 2,\ \ldots$
В геометрической прогрессии $b_2=-6$, $b_5=48$. Найдите сумму первых пяти членов.