Арифметическая прогрессия
Теория
Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$. Число $d$ называется разностью прогрессии. Пример: $3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \ldots$, здесь $d=4$.
Разность находим вычитанием: $d=a_2-a_1$. Если $d>0$, прогрессия возрастает. Если $d<0$, убывает. Пример: $12,\ 9,\ 6,\ \ldots$, $d=9-12=-3$.
Формула $n$-го члена: $$a_n=a_1+(n-1)d.$$ Пример: $a_1=3$, $d=4$, тогда $a_{10}=3+9\cdot 4=39$.
Каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому соседних: $$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.$$ Пример: между 5 и 13 в прогрессии стоит 9.
Сумма первых $n$ членов: $$S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}.$$ Ту же сумму можно найти без $a_n$: $$S_n=\frac{(2a_1+(n-1)d)\cdot n}{2}.$$ Пример: $1+2+\ldots+100=\dfrac{(1+100)\cdot 100}{2}=5050$.
Чтобы найти номер члена, равного данному числу, подставляем это число в формулу $a_n$ и решаем уравнение относительно $n$. Номер должен получиться натуральным.
Разобранный пример
В арифметической прогрессии $a_1=-5$, $d=3$. Найдите сумму первых 12 членов.
1) Находим двенадцатый член: $$a_{12}=a_1+11d=-5+33=28.$$
2) Записываем формулу суммы: $$S_{12}=\frac{(a_1+a_{12})\cdot 12}{2}.$$
3) Вычисляем: $$S_{12}=(-5+28)\cdot 6=23\cdot 6=138.$$
Ответ: 138.
Тренировка
Найдите разность арифметической прогрессии $12,\ 9,\ 6,\ \ldots$
В арифметической прогрессии $a_1=4$, $d=5$. Найдите $a_8$.
В арифметической прогрессии $a_3=10$, $a_7=22$. Найдите разность прогрессии.
Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии $2,\ 6,\ 10,\ \ldots$
Какой номер имеет член арифметической прогрессии $5,\ 9,\ 13,\ \ldots$, равный 101?
Бегун в первый день пробежал 3 км, а каждый следующий день пробегал на 0,5 км больше, чем накануне. Сколько километров он пробежал за 10 дней?