Теорема Виета
Теория
Приведённое квадратное уравнение: $x^2+px+q=0$, старший коэффициент равен $1$. Если $x_1$ и $x_2$ его корни, то$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q.$$Пример: у $x^2-7x+10=0$ сумма корней $7$, произведение $10$, корни $2$ и $5$.
Для уравнения $ax^2+bx+c=0$:$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$Пример: у $2x^2-6x-8=0$ сумма корней $3$, произведение $-4$.
Теорема работает, только если корни есть. Сначала проверяем, что $D\ge 0$. У уравнения $x^2+x+5=0$ дискриминант $D=1-20<0$, корней нет, и говорить об их сумме нельзя.
Обратная теорема: если $m+n=-p$ и $m\cdot n=q$, то $m$ и $n$ являются корнями уравнения $x^2+px+q=0$. Так корни подбирают устно. Пример: $x^2+3x-10=0$, произведение $-10$, сумма $-3$, корни $-5$ и $2$.
Выражения с корнями можно найти, не решая уравнение. Главная формула:$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$
Разложение квадратного трёхчлена: если $x_1$ и $x_2$ корни, то$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$Пример: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.
Разобранный пример
Не решая уравнение $x^2-6x+4=0$, найдите $x_1^2+x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ его корни.
1) Проверяем, что корни есть:$$D=36-16=20>0.$$2) По теореме Виета$$x_1+x_2=6,\qquad x_1\cdot x_2=4.$$3) Выражаем сумму квадратов:$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$4) Подставляем:$$6^2-2\cdot 4=36-8=28.$$Ответ: $28$.
Тренировка
Найдите сумму корней уравнения $x^2-11x+18=0$.
Найдите произведение корней уравнения $x^2+4x-21=0$.
Подберите корни уравнения $x^2-x-12=0$.
Один из корней уравнения $x^2+px-18=0$ равен $2$. Найдите второй корень.
Не решая уравнение $x^2-5x+3=0$, найдите $x_1^2+x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ его корни.
Разложите на множители квадратный трёхчлен $2x^2-7x+3$.