Площади фигур
Теория
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:$$S=ab.$$Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$. Пример: прямоугольник 5 на 8 имеет площадь 40.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне:$$S=a\cdot h.$$Пример: $a=8$, $h=5$, $S=40$.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к ней:$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h.$$Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:$$S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2.$$Пример: диагонали $6$ и $10$, $S=30$.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h.$$Пример: основания $4$ и $10$, высота $5$, $S=7\cdot 5=35$.
Если фигуру разрезать на части, её площадь равна сумме площадей частей. На клетчатой бумаге удобно достроить фигуру до прямоугольника и вычесть лишние прямоугольные треугольники.
Разобранный пример
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB=8$ и $AD=10$. Высота $BH$, проведённая к стороне $AD$, равна $4$. Найдите высоту $DK$, проведённую к стороне $AB$.
1) Площадь через сторону $AD$:$$S=AD\cdot BH=10\cdot 4=40.$$2) Эту же площадь можно записать через сторону $AB$:$$S=AB\cdot DK.$$3) Находим высоту:$$8\cdot DK=40,\quad DK=40:8=5.$$Ответ: $5$.
Тренировка
Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна $12$, а высота $BH$, проведённая к ней, равна $7$. Найдите площадь треугольника.
Диагонали ромба равны $8$ и $14$. Найдите площадь ромба.
Основания трапеции равны $5$ и $11$, высота равна $6$. Найдите площадь трапеции.
Площадь прямоугольного треугольника равна $54$, один из катетов равен $9$. Найдите другой катет.
Стороны параллелограмма равны $12$ и $9$. Высота, проведённая к большей стороне, равна $6$. Найдите высоту, проведённую к меньшей стороне.
На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.