Теорема Пифагора и подобие треугольников
Теория
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$$c^2=a^2+b^2.$$Пример: катеты $6$ и $8$, $c^2=36+64=100$, $c=10$.
Катет находят через разность квадратов:$$a^2=c^2-b^2.$$Пример: $c=13$, $b=5$, $a^2=169-25=144$, $a=12$.
Обратная теорема. Если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Стороны $7$, $24$, $25$ дают прямоугольный треугольник: $49+576=625$.
Подобные треугольники. У подобных треугольников углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия $k$.
Признак подобия по двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Так бывает, когда прямая параллельна стороне треугольника и отсекает от него меньший треугольник.
Периметры подобных треугольников относятся как $k$, площади как $k^2$. Пример: при $k=3$ площадь большего треугольника в 9 раз больше.
Разобранный пример
В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$, точка $M$ лежит на $AB$, точка $N$ на $BC$. $BM=4$, $MA=6$, $MN=6$. Найдите $AC$.
1) $\angle BMN=\angle BAC$ как соответственные углы при $MN\parallel AC$, угол $B$ общий. Треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам:$$\triangle MBN\sim\triangle ABC.$$2) Находим $BA$ и коэффициент подобия:$$BA=4+6=10,\qquad k=BA:BM=10:4=2{,}5.$$3) Находим $AC$:$$AC=MN\cdot k=6\cdot 2{,}5=15.$$Ответ: $15$.
Тренировка
Катеты прямоугольного треугольника равны $9$ и $12$. Найдите гипотенузу.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $41$, а один из катетов равен $9$. Найдите другой катет.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $13$, основание равно $10$. Найдите высоту, проведённую к основанию.
Катеты прямоугольного треугольника равны $2$ и $4$. Найдите гипотенузу.
В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$, точка $M$ лежит на $AB$, точка $N$ на $BC$. $BN=6$, $NC=9$, $AC=20$. Найдите $MN$.
Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 6 м от столба с фонарём. Длина его тени 3 м. Найдите высоту фонаря в метрах.