Линейные неравенства и системы неравенств

Числовые промежутки. Все числа $x$, для которых $2<x\le 5$, образуют промежуток $(2;\,5]$. Круглая скобка означает, что число не входит в промежуток, квадратная означает, что входит. На прямой невходящий конец отмечают пустым кружком, входящий закрашенным. У бесконечности скобка всегда круглая: $x\ge -1$ записывают как $[-1;\,+\infty)$.

Свойства неравенств. К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число. Обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак при этом не меняется. При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный: из $-2x<6$ получаем $x>-3$.

Решение линейного неравенства. Раскрываем скобки, слагаемые с $x$ переносим в одну часть, числа в другую. Приводим подобные и делим на коэффициент при $x$. Пример:$$3x-7\ge 5,\quad 3x\ge 12,\quad x\ge 4.$$Ответ: $[4;\,+\infty)$.

Система неравенств. Решение системы подходит сразу к каждому неравенству. Решаем каждое неравенство отдельно и отмечаем ответы на одной прямой. Ответом служит общая часть промежутков. Пример: $x>1$ и $x\le 4$ дают промежуток $(1;\,4]$.

Если у промежутков нет общей части, система не имеет решений. Пример: $x<2$ и $x>5$.

Двойное неравенство решают сразу во всех трёх частях. Пример:$$-1<2x+3\le 7.$$Вычитаем $3$:$$-4<2x\le 4.$$Делим на $2$:$$-2<x\le 2.$$