Квадратные уравнения
Теория
Квадратное уравнение имеет вид$$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne 0.$$Числа $a$, $b$, $c$ называют коэффициентами. В уравнении $2x^2-3x+1=0$ коэффициенты $a=2$, $b=-3$, $c=1$.
Неполные уравнения решаем без формулы:$$x^2-16=0,\quad x^2=16,\quad x=4\ \text{или}\ x=-4.$$ $$3x^2-12x=0,\quad 3x(x-4)=0,\quad x=0\ \text{или}\ x=4.$$Уравнение $x^2+9=0$ корней не имеет, потому что $x^2$ не бывает отрицательным.
Дискриминант$$D=b^2-4ac.$$Если $D>0$, корней два:$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.$$Если $D=0$, корень один: $x=-\dfrac{b}{2a}$. Если $D<0$, корней нет.
Пример: $x^2-5x+6=0$.$$D=25-24=1,\quad x=\frac{5\pm 1}{2},\quad x_1=3,\ x_2=2.$$
Корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ равны абсциссам точек, где парабола $y=ax^2+bx+c$ пересекает ось $x$. На рисунке парабола $y=x^2-2x-3$ пересекает ось в точках $-1$ и $3$.
В задачах на составление уравнения обозначаем неизвестное через $x$, составляем уравнение и проверяем, подходят ли корни по смыслу. Длина и количество отрицательными не бывают.
Разобранный пример
Решите уравнение$$2x^2+3x-5=0.$$
1) Коэффициенты: $a=2$, $b=3$, $c=-5$.
2) Дискриминант:$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49,\quad \sqrt{D}=7.$$3) Первый корень:$$x_1=\frac{-3+7}{4}=1.$$4) Второй корень:$$x_2=\frac{-3-7}{4}=-2{,}5.$$Ответ: $-2{,}5$ и $1$.
Тренировка
Решите уравнение $x^2-49=0$. В ответ запишите больший корень.
Решите уравнение $5x^2+20x=0$. В ответ запишите меньший корень.
Решите уравнение$$x^2-8x+15=0.$$
Сколько корней имеет уравнение $4x^2-12x+9=0$?
Решите уравнение $(x+2)^2=3x+10$. В ответ запишите больший корень.
Площадь прямоугольного участка $300\ \text{м}^2$. Длина участка на 5 м больше ширины. Найдите ширину участка. Ответ дайте в метрах.