Квадратные корни

Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Пример: $\sqrt{49}=7$, потому что $7\ge 0$ и $7^2=49$. Корня из отрицательного числа нет.

Для любого $a$ верно$$\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert.$$Пример: $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$.

Свойства корней при $a\ge 0$, $b\ge 0$:$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (b\ne 0).$$Примеры: $\sqrt{16\cdot 25}=4\cdot 5=20$, $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.

Вынесение множителя из-под корня: подкоренное число раскладываем так, чтобы один множитель был точным квадратом. Пример: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$. Обратно множитель вносят под корень: $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$.

Корни с одинаковым подкоренным числом складывают как подобные слагаемые. Пример: $\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$. При умножении скобок работают формулы сокращённого умножения:$$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=5-1=4.$$

Функция $y=\sqrt{x}$ определена при $x\ge 0$. Её график начинается в точке $(0;\,0)$ и проходит через точки $(1;\,1)$, $(4;\,2)$, $(9;\,3)$.