Функции y = k/x и y = √x
Теория
Обратная пропорциональность задаётся формулой$$y=\frac{k}{x},\quad k\ne 0.$$Число $x$ может быть любым, кроме $0$. Пример: для $y=\dfrac{6}{x}$ при $x=3$ получаем $y=2$.
График функции $y=\dfrac{k}{x}$ называют гиперболой. Он состоит из двух ветвей. При $k>0$ ветви лежат в I и III четвертях, при $k<0$ во II и IV четвертях. Гипербола не пересекает оси координат.
Если точка $(x_0;\,y_0)$ лежит на гиперболе $y=\dfrac{k}{x}$, то$$k=x_0\cdot y_0.$$Пример: гипербола проходит через точку $(2;\,-4)$, значит $k=2\cdot(-4)=-8$.
Функция $y=\sqrt{x}$ определена при $x\ge 0$, её значения тоже неотрицательны. График начинается в точке $(0;\,0)$ и проходит через точки $(1;\,1)$, $(4;\,2)$, $(9;\,3)$. Это половина параболы, лежащая на боку.
Функция $y=\sqrt{x}$ возрастает: чем больше $x$, тем больше $y$. Поэтому корни можно сравнивать по подкоренным числам: $\sqrt{7}<\sqrt{11}$, потому что $7<11$.
Чтобы найти точку пересечения двух графиков, приравниваем правые части формул. Пример: $\dfrac{4}{x}=x$ при $x>0$. Получаем $x^2=4$, $x=2$. Точка пересечения $(2;\,2)$.
Разобранный пример
Гипербола $y=\dfrac{k}{x}$ проходит через точку $A(-3;\,4)$. Найдите $k$ и проверьте, проходит ли эта гипербола через точку $B(6;\,-2)$.
1) Точка $A$ лежит на графике, поэтому$$k=(-3)\cdot 4=-12.$$2) Формула функции:$$y=-\frac{12}{x}.$$3) Подставляем $x=6$:$$y=-\frac{12}{6}=-2.$$4) Получили ординату точки $B$, значит $B$ лежит на графике.
Ответ: $k=-12$, гипербола проходит через точку $B$.
Тренировка
Функция задана формулой $y=\dfrac{18}{x}$. Найдите значение $y$ при $x=-6$.
На рисунке изображён график функции $y=\dfrac{k}{x}$. Какой формулой задана эта функция?
Гипербола $y=\dfrac{k}{x}$ проходит через точку $M(4;\,-5)$. Найдите $k$.
Точка $A$ лежит на графике функции $y=\sqrt{x}$, её ордината равна $1{,}2$. Найдите абсциссу точки $A$.
Найдите абсциссу точки пересечения графиков $y=\dfrac{8}{x}$ и $y=2x$, лежащей в первой четверти.
Сколько целых чисел $x$ удовлетворяют условию $2<\sqrt{x}<4$?