Формулы сокращённого умножения и разложение на множители
Теория
Квадрат суммы и квадрат разности:$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$Пример: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
Разность квадратов:$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$Пример: $49-x^2=(7-x)(7+x)$. Формула помогает считать устно:$$52^2-48^2=(52-48)(52+48)=4\cdot 100=400.$$
Сумма и разность кубов:$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\quad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$Пример: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Разложить многочлен на множители значит записать его в виде произведения. Сначала выносим общий множитель за скобки, потом проверяем, не подходит ли формула. Пример:$$3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$
Способ группировки. Слагаемые разбиваем на группы, в каждой выносим общий множитель, и появляется общая скобка. Пример:$$x^3+2x^2+3x+6=x^2(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x^2+3).$$
Разобранный пример
Разложите на множители $2x^3-18x$.
1) Общий множитель $2x$ выносим за скобки:$$2x^3-18x=2x(x^2-9).$$2) В скобке разность квадратов:$$x^2-9=x^2-3^2.$$3) Раскладываем:$$x^2-9=(x-3)(x+3).$$Ответ: $2x(x-3)(x+3)$.
Тренировка
Раскройте скобки: $(x+5)^2$.
Вычислите удобным способом: $67^2-33^2$.
Разложите на множители: $25a^2-16b^2$.
Найдите значение выражения $(a-3)^2-a(a-6)$ при $a=17{,}4$.
Разложите на множители: $x^3-2x^2-9x+18$.
Известно, что $x+y=7$ и $xy=10$. Найдите $x^2+y^2$.