Рациональные дроби
Теория
Рациональная дробь записывается как $\dfrac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ многочлены. Знаменатель не может быть равен нулю. Дробь $\dfrac{x+1}{x-4}$ имеет смысл при всех $x$, кроме $x=4$.
Основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же выражение, не равное нулю. Чтобы сократить дробь, раскладываем числитель и знаменатель на множители и делим на общий множитель. Пример:$$\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3.$$
Дроби с одинаковыми знаменателями складываем так: складываем числители, знаменатель оставляем. Дроби с разными знаменателями сначала приводим к общему знаменателю. Пример:$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}.$$
Умножение и деление:$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}.$$Перед умножением удобно сократить. Пример:$$\frac{x^2-4}{3x}\cdot\frac{6x}{x+2}=2(x-2).$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Пример: $\dfrac{x-5}{x+2}=0$ при $x=5$.
Разобранный пример
Найдите значение выражения$$\frac{x^2-16}{x^2+4x}$$при $x=8$.
1) Числитель:$$x^2-16=(x-4)(x+4).$$2) Знаменатель:$$x^2+4x=x(x+4).$$3) Сокращаем на $x+4$: получаем$$\frac{x-4}{x}.$$4) При $x=8$:$$\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=0{,}5.$$Ответ: $0{,}5$.
Тренировка
При каком значении $x$ дробь $\dfrac{x+7}{x-6}$ не имеет смысла?
Сократите дробь$$\frac{12a^3b}{18ab^2}.$$
Найдите значение выражения$$\frac{x^2-25}{x^2-5x}$$при $x=10$.
Упростите выражение$$\frac{3}{x-2}-\frac{6}{x^2-2x}.$$
Найдите значение выражения$$\frac{a^2-9}{a^2+6a+9}:\frac{a-3}{4a+12}$$при $a=7{,}3$.
При каком значении $x$ дробь $\dfrac{x^2-4}{x+2}$ равна нулю?