Четырёхугольники: параллелограмм и трапеция
Теория
Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма. Противоположные стороны равны. Противоположные углы равны. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пример: если $\angle A=70^\circ$, то$$\angle B=180^\circ-70^\circ=110^\circ.$$
Особые параллелограммы. У прямоугольника все углы прямые и диагонали равны. У ромба все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят его углы пополам. Квадрат является и прямоугольником, и ромбом.
Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называют основаниями, две другие боковыми сторонами. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.
В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Углы при каждом основании равны, диагонали тоже равны.
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме. Пример: при основаниях $6$ и $10$ средняя линия равна $(6+10):2=8$.
Разобранный пример
В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. $BK=5$, $KC=3$. Найдите периметр параллелограмма.
1) $AK$ биссектриса, поэтому $\angle BAK=\angle KAD$.
2) $BC\parallel AD$, значит $\angle KAD=\angle BKA$ как накрест лежащие углы.
3) Получаем $\angle BAK=\angle BKA$, треугольник $ABK$ равнобедренный:$$AB=BK=5.$$4) Находим $BC$ и периметр:$$BC=5+3=8,\qquad P=2\cdot(5+8)=26.$$Ответ: $26$.
Тренировка
В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $64^\circ$. Найдите угол $B$. Ответ дайте в градусах.
Основания трапеции равны $7$ и $13$. Найдите её среднюю линию.
Периметр параллелограмма равен $50$. Одна его сторона на $5$ больше другой. Найдите большую сторону.
В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $A$ равен $52^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $110^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
Основания трапеции $ABCD$ равны $BC=6$ и $AD=14$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. Найдите длину большего из отрезков $MK$ и $KN$.