Треугольники: равенство, равнобедренный треугольник
Теория
У треугольника $ABC$ три вершины $A$, $B$, $C$, три стороны $AB$, $BC$, $AC$ и три угла. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.
Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. У равных треугольников соответственные стороны и соответственные углы равны. Запись $\triangle ABC=\triangle MNK$ означает, что $A$ совмещается с $M$, $B$ с $N$, $C$ с $K$. Значит, $AB=MN$, $BC=NK$, $AC=MK$.
Первый признак равенства. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Третий признак. Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого, то треугольники равны.
Равнобедренным называют треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми, третью сторону основанием. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. На рисунке $AB=BC$, поэтому $\angle A=\angle C$.
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой. На рисунке $BD$ медиана, поэтому $\angle ABD=\angle CBD$ и $BD\perp AC$. Пример: если $\angle ABC=70^\circ$, то $\angle ABD=35^\circ$.
Разобранный пример
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BD$. Периметр треугольника $ABC$ равен 32 см, периметр треугольника $ABD$ равен 24 см. Найдите длину медианы $BD$.
1) $AB=BC$ и $AD=DC$, поэтому периметр $ABC$ равен$$2\cdot AB+2\cdot AD=32\text{ см}.$$
2) Отсюда$$AB+AD=16\text{ см}.$$
3) Периметр $ABD$ равен$$AB+AD+BD=24\text{ см}.$$
4) Находим медиану:$$BD=24-16=8\text{ см}.$$
Ответ: 8 см.
Тренировка
Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см, основание равно 8 см. Найдите боковую сторону. Ответ дайте в сантиметрах.
Треугольники $ABC$ и $MNK$ равны: $\triangle ABC=\triangle MNK$. Известно, что $AB=5$ см, $BC=7$ см, $AC=9$ см. Найдите $MK$. Ответ дайте в сантиметрах.
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $BD$ медиана. Угол $ABC$ равен $64^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них. $AC=6$ см. Найдите $BD$. Ответ дайте в сантиметрах.
Боковая сторона равнобедренного треугольника на 3 см больше основания. Периметр треугольника равен 36 см. Найдите основание. Ответ дайте в сантиметрах.
Точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Известно, что $AB=AD$, $CB=CD$, угол $ABC$ равен $110^\circ$. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.