Формулы сокращённого умножения
Теория
Квадрат суммы:$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$Это квадрат первого выражения, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго. На рисунке квадрат со стороной $a+b$ разрезан на квадрат $a^2$, квадрат $b^2$ и два прямоугольника $ab$. Пример: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
Квадрат разности:$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$От квадрата суммы он отличается только знаком среднего члена. Пример: $(2y-1)^2=4y^2-4y+1$.
Разность квадратов:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности их квадратов. Пример: $(m-5)(m+5)=m^2-25$.
Куб суммы и куб разности:$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$Сумма и разность кубов:$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$Пример: $(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8$.
Частая ошибка: $(a+b)^2$ не равно $a^2+b^2$. Удвоенное произведение пропускать нельзя. Проверка на числах: $(2+3)^2=25$, а $2^2+3^2=13$.
Формулы помогают считать устно:$$51^2=(50+1)^2=2500+100+1=2601,$$$$49\cdot 51=(50-1)(50+1)=2500-1=2499.$$
Разобранный пример
Упростите выражение $$(x+4)^2-(x-2)(x+2)$$ и найдите его значение при $x=-1{,}5$.
1) По формуле квадрата суммы:$$(x+4)^2=x^2+8x+16.$$
2) По формуле разности квадратов:$$(x-2)(x+2)=x^2-4.$$
3) Вычитаем:$$x^2+8x+16-(x^2-4)=x^2+8x+16-x^2+4=8x+20.$$
4) При $x=-1{,}5$:$$8\cdot(-1{,}5)+20=-12+20=8.$$
Ответ: 8.
Тренировка
Представьте выражение в виде многочлена: $(x+5)^2$.
Представьте выражение в виде многочлена: $(3a-2)(3a+2)$.
Вычислите удобным способом: $61^2-39^2$.
Вычислите $98^2$, представив 98 как $100-2$.
Упростите выражение $$(2x-3)^2-4x(x-5)$$ и найдите его значение при $x=0{,}25$.
Известно, что $a+b=7$ и $ab=10$. Найдите $a^2+b^2$.