Одночлены и многочлены
Теория
Одночлен это произведение чисел, переменных и их степеней. Примеры: $5a^2b$, $-x$, $0{,}3xy^3$. Одночлен стандартного вида имеет один числовой множитель на первом месте, а каждая переменная встречается один раз. Числовой множитель называют коэффициентом. Пример: $3a\cdot(-2ab^2)=-6a^2b^2$.
Степень одночлена равна сумме показателей всех его переменных. Степень одночлена $4x^3y^2$ равна $3+2=5$.
Многочлен это сумма одночленов. Подобные члены многочлена приводим. Степень многочлена стандартного вида равна наибольшей из степеней его членов.
Чтобы сложить или вычесть многочлены, раскрываем скобки и приводим подобные члены. Пример:$$(3x^2-2x+1)-(x^2-5x)=3x^2-2x+1-x^2+5x=2x^2+3x+1.$$
Чтобы умножить одночлен на многочлен, умножаем одночлен на каждый член многочлена. Пример: $2x(x^2-3)=2x^3-6x$.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого умножаем на каждый член второго и складываем. Пример:$$(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10.$$
Разобранный пример
Упростите выражение $$(2x-3)(x+4)-2x(x+1)$$ и найдите его значение при $x=-3$.
1) Умножаем многочлен на многочлен:$$(2x-3)(x+4)=2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12.$$
2) Умножаем одночлен на многочлен:$$2x(x+1)=2x^2+2x.$$
3) Вычитаем и приводим подобные:$$2x^2+5x-12-2x^2-2x=3x-12.$$
4) При $x=-3$:$$3\cdot(-3)-12=-21.$$
Ответ: $-21$.
Тренировка
Найдите степень одночлена $-7a^3b^2c$.
Приведите одночлен к стандартному виду: $4x^2y\cdot(-3xy^3)$.
Упростите выражение $$(5a^2-3a+2)-(2a^2-4a-6).$$
Выполните умножение: $-3x(2x^2-x+4)$.
Выполните умножение: $(x-3)(2x+5)$.
Упростите выражение $$(3x+2)(x-1)-3x(x+2)$$ и найдите его значение при $x=-0{,}5$.