Параллельные прямые и сумма углов треугольника
Теория
Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Запись: $a\parallel b$.
Пусть прямая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$. Такую прямую называют секущей. При этом получается восемь углов. На рисунке углы 1 и 2 накрест лежащие, углы 3 и 2 соответственные, углы 4 и 2 односторонние.
Признаки параллельности. Прямые $a$ и $b$ параллельны, если накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна $180^\circ$.
Свойства параллельных прямых. Если $a\parallel b$, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$. Пример: если на рисунке $\angle 1=120^\circ$, то $\angle 2=120^\circ$, $\angle 3=120^\circ$, а$$\angle 4=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Это доказывают так: через вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне, и пользуются равенством накрест лежащих углов. Пример: если два угла треугольника $50^\circ$ и $60^\circ$, то третий угол$$180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ.$$
Угол, смежный с углом треугольника, называют внешним углом. Внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$.
Разобранный пример
Прямые $a$ и $b$ параллельны, прямая $c$ их пересекает. Углы 1 и 2 односторонние, угол 2 на $40^\circ$ больше угла 1. Найдите угол 2.
1) Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$.
2) Пусть $\angle 1=x$, тогда $\angle 2=x+40^\circ$.
3) Составляем уравнение:$$x+x+40=180,\quad 2x=140,\quad x=70^\circ.$$
4) Находим угол 2:$$\angle 2=70^\circ+40^\circ=110^\circ.$$
Ответ: $110^\circ$.
Тренировка
Прямые $a$ и $b$ параллельны, прямая $c$ их пересекает. Углы 1 и 2 накрест лежащие, $\angle 1=54^\circ$. Найдите $\angle 2$. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ABC$ $\angle A=47^\circ$, $\angle C=68^\circ$. Найдите $\angle B$. Ответ дайте в градусах.
Прямые $a$ и $b$ параллельны, прямая $c$ их пересекает. Углы 1 и 2 односторонние, $\angle 1=128^\circ$. Найдите $\angle 2$. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\angle A=37^\circ$. Найдите $\angle B$. Ответ дайте в градусах.
Внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $C$ равен $112^\circ$, $\angle A=47^\circ$. Найдите $\angle B$. Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ внешний угол при вершине $C$ равен $118^\circ$. Найдите $\angle B$. Ответ дайте в градусах.