Линейная функция и её график
Теория
Линейная функция задаётся формулой $$y=kx+b,$$ где $k$ и $b$ числа. Её график прямая. Чтобы построить прямую, достаточно найти две её точки. Пример: для $y=2x-1$ при $x=0$ получаем $y=-1$, при $x=2$ получаем $y=3$.
Число $k$ называют угловым коэффициентом. Если $k>0$, функция возрастает и прямая идёт вверх слева направо. Если $k<0$, функция убывает. Если $k=0$, график $y=b$ параллелен оси $x$.
Число $b$ показывает, где прямая пересекает ось $y$: в точке $(0;\,b)$. Чтобы найти точку пересечения с осью $x$, решаем уравнение $kx+b=0$. Для $y=2x-1$ это $x=0{,}5$.
Прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ параллельны, если $k_1=k_2$ и $b_1\ne b_2$. Если $k_1\ne k_2$, прямые пересекаются. Координаты точки пересечения находим, приравняв правые части формул.
На рисунке прямые $y=2x-1$ и $y=-x+2$. Из $2x-1=-x+2$ получаем $x=1$, $y=1$. Прямые пересекаются в точке $(1;\,1)$.
Функцию $y=kx$ называют прямой пропорциональностью. Её график всегда проходит через начало координат.
Разобранный пример
Найдите координаты точки пересечения графиков функций $y=3x-4$ и $y=-x+4$.
1) В точке пересечения значения $y$ равны:$$3x-4=-x+4.$$
2) Переносим слагаемые и находим $x$:$$3x+x=4+4,\quad 4x=8,\quad x=2.$$
3) Подставляем в любую формулу:$$y=3\cdot 2-4=2.$$
4) Проверка:$$-2+4=2,$$ верно.
Ответ: $(2;\,2)$.
Тренировка
Функция задана формулой $y=-3x+5$. Найдите значение $y$ при $x=-2$.
Найдите абсциссу точки пересечения графика функции $y=4x-6$ с осью $x$.
На рисунке изображён график функции $y=kx+b$. Найдите $k$.
На рисунке изображены три прямые. Какая из них является графиком функции $y=-0{,}5x+2$?
Прямая $y=kx+b$ параллельна прямой $y=-3x+2$ и проходит через точку $(-1;\,7)$. Найдите $b$.
Найдите ординату точки пересечения графиков функций $y=2x-5$ и $y=-x+4$.