Линейные уравнения
Теория
Уравнение вида $ax=b$, где $x$ переменная, $a$ и $b$ числа, называют линейным уравнением с одной переменной. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Если $a\ne 0$, уравнение имеет один корень $x=b:a$. Пример:$$-4x=18,\quad x=18:(-4)=-4{,}5.$$
Если $a=0$ и $b\ne 0$, корней нет. Пример: $0\cdot x=5$. Если $a=0$ и $b=0$, корнем является любое число.
Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Порядок решения: раскрываем скобки, переносим слагаемые с переменной в левую часть, числа в правую, приводим подобные и делим на коэффициент при $x$. Пример:$$5x-7=2x+8,\quad 5x-2x=8+7,\quad 3x=15,\quad x=5.$$
Если в уравнении есть дроби, умножаем обе части на общий знаменатель. Пример: $$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5,$$ умножаем на 6:$$3x+2x=30,\quad x=6.$$
Разобранный пример
Решите уравнение $$3(x-4)-2(x+1)=5-4x.$$
1) Раскрываем скобки:$$3x-12-2x-2=5-4x.$$
2) Приводим подобные:$$x-14=5-4x.$$
3) Переносим слагаемые:$$x+4x=5+14.$$
4) Находим $x$:$$5x=19,\quad x=19:5=3{,}8.$$
Ответ: 3,8.
Тренировка
Решите уравнение $7x-9=26$.
Решите уравнение $4x+11=x-7$.
Решите уравнение $5(x-3)=2x+9$.
Решите уравнение $$\frac{x}{4}+\frac{x}{6}=5.$$
Решите уравнение $$\frac{2x-1}{3}-\frac{x-2}{4}=2.$$
В первом ящике было в 3 раза больше абрикосов, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 14 кг, а во второй добавили 6 кг, абрикосов в ящиках стало поровну. Сколько килограммов абрикосов было во втором ящике сначала?