Делимость, НОД и НОК

Делители и кратные. Если число $a$ делится на число $b$ без остатка, то $b$ называют делителем числа $a$, а $a$ называют кратным числа $b$. Пример: 6 является делителем числа 42, а 42 кратно 6. Делителей у числа конечное количество, а кратных бесконечно много.

Признаки делимости. На 2, 5 и 10 смотрим на последнюю цифру. На 3 и 9 смотрим на сумму цифр. Число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4. Пример: 1316 делится на 4, потому что 16 делится на 4.

Разложение на простые множители удобно записывать степенями. Пример: $$360=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=2^3\cdot 3^2\cdot 5.$$

НОД. Раскладываем числа на простые множители и берём только общие множители, каждый в наименьшей степени. Пример: $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$, $84=2^2\cdot 3\cdot 7$. $\text{НОД}(360;\,84)=2^2\cdot 3=12$.

НОК. Берём все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном числе, каждый в наибольшей степени. Пример: $\text{НОК}(360;\,84)=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2520$.

Для двух чисел верно: $$\text{НОД}(a;\,b)\cdot\text{НОК}(a;\,b)=a\cdot b.$$ Пример: $\text{НОД}(12;\,18)=6$, $\text{НОК}(12;\,18)=36$, и $6\cdot 36=12\cdot 18=216$. Если НОД двух чисел равен 1, числа взаимно простые, и их НОК равен их произведению.