Длина окружности и площадь круга
Теория
Окружность состоит из всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра $O$. Это расстояние называют радиусом $r$. Отрезок, который проходит через центр и соединяет две точки окружности, называют диаметром $d$. Диаметр в 2 раза больше радиуса: $d=2r$. Кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью.
Для любой окружности длина, делённая на диаметр, даёт одно и то же число. Его обозначают греческой буквой $\pi$. Это бесконечная десятичная дробь, в задачах берут $\pi\approx 3{,}14$.
Длина окружности $$C=\pi d=2\pi r.$$ Если $r=5$ см, то $C\approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5=31{,}4$ см.
Площадь круга $$S=\pi r^2.$$ Если $r=3$ см, то $S\approx 3{,}14\cdot 3\cdot 3=28{,}26\ \text{см}^2$. Если дан диаметр, сначала находим радиус: $r=d:2$.
Если известна длина окружности, радиус находят делением: $r=C:(2\pi)$. При $C=12{,}56$ см получаем $r=12{,}56:6{,}28=2$ см.
Разобранный пример
Длина окружности равна 25,12 см. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью. Примите $\pi=3{,}14$.
Из формулы $C=2\pi r$ находим радиус:$$r=25{,}12:(2\cdot 3{,}14)=25{,}12:6{,}28=4\ \text{см}.$$
Площадь круга:$$S=\pi r^2=3{,}14\cdot 4\cdot 4.$$
Вычисляем:$$3{,}14\cdot 16=50{,}24\ \text{см}^2.$$
Ответ: $50{,}24\ \text{см}^2$.
Тренировка
Диаметр окружности равен 10 см. Найдите длину окружности. Примите $\pi=3{,}14$. Ответ дайте в сантиметрах.
Радиус круга равен 2 см. Найдите площадь круга. Примите $\pi=3{,}14$. Ответ дайте в $\text{см}^2$.
Длина окружности равна 18,84 см. Найдите её радиус. Примите $\pi=3{,}14$. Ответ дайте в сантиметрах.
Диаметр круга равен 8 дм. Найдите площадь круга. Примите $\pi=3{,}14$. Ответ дайте в $\text{дм}^2$.
Диаметр колеса велосипеда 0,5 м. Сколько оборотов сделает колесо на пути 314 м? Примите $\pi=3{,}14$.
В квадрат со стороной 10 см вписан круг. Найдите площадь закрашенной части квадрата, которая лежит вне круга. Примите $\pi=3{,}14$. Ответ дайте в $\text{см}^2$.