Делимость: НОД и НОК
Теория
Признаки делимости. Число делится на 2, если оно оканчивается чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8. На 5, если оно оканчивается на 0 или 5. На 10, если оно оканчивается на 0. На 3, если сумма его цифр делится на 3. На 9, если сумма цифр делится на 9. Пример: у числа 738 сумма цифр $7+3+8=18$, поэтому 738 делится и на 3, и на 9.
Простые и составные числа. Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само число. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13. Составное число имеет больше двух делителей: 4, 6, 9, 15. Число 1 не простое и не составное.
Разложение на простые множители. Делим число на простые числа, начиная с меньших, пока не получится 1. Пример: $60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$.
НОД. Чтобы найти наибольший общий делитель, раскладываем числа на простые множители и перемножаем общие множители. Пример: $24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$, $36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$. Общие множители 2, 2 и 3, поэтому $\text{НОД}(24;\,36)=12$.
НОК. Чтобы найти наименьшее общее кратное, выписываем множители одного числа и добавляем недостающие множители другого. Пример: $\text{НОК}(24;\,36)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2=72$.
Если НОД двух чисел равен 1, числа называют взаимно простыми. Их НОК равен произведению: $\text{НОК}(8;\,9)=72$.
Разобранный пример
У продавца на базаре 48 яблок и 36 груш. Он хочет разложить их в одинаковые пакеты так, чтобы в каждом пакете было поровну яблок и поровну груш и ничего не осталось. Какое наибольшее число пакетов можно собрать?
1) Число пакетов должно быть делителем и 48, и 36. Значит, ищем НОД.
2) Раскладываем числа на простые множители:$$48=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3,\quad 36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3.$$
3) Общие множители 2, 2 и 3:$$\text{НОД}(48;\,36)=12.$$
4) В каждом пакете $48:12=4$ яблока и $36:12=3$ груши.
Ответ: 12.
Тренировка
Какое из чисел делится на 9?
Какое из чисел простое?
Разложите число 84 на простые множители. Запишите наибольший из них.
Найдите $\text{НОД}(42;\,56)$.
Найдите $\text{НОК}(12;\,18)$.
От конечной остановки одновременно отошли два автобуса. Первый возвращается на неё каждые 20 мин, второй каждые 30 мин. Через сколько минут они впервые снова встретятся на конечной? Ответ дайте в минутах.