Комбинаторика и перебор
Теория
Иногда нужно найти все возможные варианты и не пропустить ни одного. Для этого перебираем их по порядку, по правилу.
Составим двузначные числа из цифр 1, 2, 3, если цифры не повторяются. Сначала все числа, которые начинаются с 1, — это 12 и 13. Потом числа, которые начинаются с 2, — это 21 и 23. Потом с 3 — это 31 и 32. Всего 6 чисел.
Наряды. У Ани 3 футболки (Ф1, Ф2, Ф3) и 2 юбки (Ю1, Ю2). К каждой футболке подходит любая из 2 юбок. Рисуем дерево: от каждой футболки две веточки. Всего $2+2+2=6$ нарядов, или $3\cdot 2=6$.
Рукопожатия. Встретились 4 друга, каждый пожал руку каждому один раз. Первый пожал руки трём, второй — ещё двум новым, третий — ещё одному: $3+2+1=6$ рукопожатий.
Важно понимать, играет ли роль порядок. Числа 12 и 21 — разные. А рукопожатие Ани с Тимуром и Тимура с Аней — одно и то же.
Разобранный пример
Из цифр 2, 5, 7 составляют двузначные числа. Цифры могут повторяться. Сколько получится разных чисел?
1) Первой цифрой может быть 2, 5 или 7. Перебираем по порядку (смотри таблицу).
2) Числа, которые начинаются с 2, — это 22, 25, 27, три числа.
3) С 5 начинаются 52, 55, 57, а с 7 — 72, 75, 77. Тоже по три числа.
4) Всего $3+3+3=9$ чисел.
Ответ: 9.
Тренировка
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 4 и 9, если цифры в числе не повторяются?
На завтрак можно выбрать кашу или омлет, а попить — чай или сок. Сколько есть разных завтраков (одна еда и один напиток)?
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 3, 6, 8, если цифры в числе не повторяются?
Из дома в парк ведут 3 дорожки, а из парка к озеру — 3 тропинки (смотри рисунок). Сколько есть разных путей от дома до озера через парк?
Саша, Аня и Тимур встают в очередь. Сколькими разными способами они могут встать?
Встретились 5 друзей, и каждый пожал руку каждому один раз. Сколько было рукопожатий?