Вероятность: сложение и умножение вероятностей

Классическая вероятность. Если все $n$ исходов опыта равновозможны и событию $A$ благоприятны $m$ из них, то$$P(A)=\frac{m}{n}.$$Исходы часто считают через сочетания. Пример: из 5 билетов 2 выигрышных, наугад берут 2 билета. Всего способов $C_5^2=10$, оба билета выигрышные только в одном случае, $P=\dfrac{1}{10}$.

Противоположное событие «не $A$» происходит тогда, когда $A$ не происходит:$$P(\text{не }A)=1-P(A).$$Пример: если вероятность дождя 0,35, то дождя не будет с вероятностью 0,65. Событие «хотя бы один раз» удобно считать через противоположное «ни разу».

Сложение. События $A$ и $B$ несовместны, если они не могут произойти одновременно. Тогда$$P(A\ \text{или}\ B)=P(A)+P(B).$$Пример: при броске кубика 1 или 6 выпадет с вероятностью $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}$.

Умножение. События $A$ и $B$ независимы, если одно не влияет на другое. Тогда$$P(A\ \text{и}\ B)=P(A)\cdot P(B).$$Пример: два стрелка попадают с вероятностями 0,9 и 0,7. Оба попадут с вероятностью $0{,}9\cdot 0{,}7=0{,}63$, а хотя бы один попадёт с вероятностью $1-0{,}1\cdot 0{,}3=0{,}97$.

Схема Бернулли. Опыт повторяют $n$ раз независимо, успех в каждом опыте наступает с вероятностью $p$, неудача с вероятностью $q=1-p$. Вероятность ровно $k$ успехов равна$$C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}.$$Пример: монету бросают 4 раза, орёл выпадет ровно 2 раза с вероятностью $C_4^2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$.