Цилиндр, конус и шар

Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг его стороны. Основания цилиндра являются равными кругами радиуса $r$, высота $h$ равна образующей. Осевое сечение цилиндра является прямоугольником со сторонами $2r$ и $h$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $2\pi rh$, площадь полной поверхности $2\pi rh+2\pi r^2$, объём$$V=\pi r^2h.$$Пример: при $r=3$ и $h=5$ боковая поверхность $30\pi$, полная $30\pi+18\pi=48\pi$, объём $45\pi$.

Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Высота $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора:$$l^2=r^2+h^2.$$Пример: $r=3$, $h=4$, тогда $l=5$.

Площадь боковой поверхности конуса $\pi rl$, полной $\pi rl+\pi r^2$, объём$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h.$$Пример: для конуса с $r=3$, $h=4$, $l=5$ боковая поверхность $15\pi$, объём $\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9\cdot 4=12\pi$.

Шар радиуса $R$: площадь поверхности $4\pi R^2$, объём$$V=\frac{4}{3}\pi R^3.$$Сечение шара плоскостью есть круг. Если плоскость удалена от центра на $d$, то радиус сечения находят из равенства$$r^2=R^2-d^2.$$Пример: $R=5$, $d=3$, тогда $r=4$.

Если все размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности увеличится в $k^2$ раз, а объём в $k^3$ раз. Ответ с числом $\pi$ часто просят дать, разделив на $\pi$: если $V=45\pi$, в ответ пишут 45.