Производная и правила дифференцирования

Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда $\Delta x$ стремится к нулю. Обозначение: $f'(x_0)$. Нахождение производной называют дифференцированием. Пример: для $f(x)=x^2$ производная $f'(x)=2x$, поэтому $f'(3)=6$.

Таблица производных:$$(C)'=0,\quad (x^n)'=n\cdot x^{n-1},\quad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},$$ $$(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (e^x)'=e^x,\quad (\ln x)'=\frac{1}{x}.$$Пример: $(x^5)'=5x^4$, $\left(\dfrac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-\dfrac{1}{x^2}$.

Производная суммы равна сумме производных. Постоянный множитель выносится за знак производной:$$(C\cdot u)'=C\cdot u'.$$Пример: $(3x^4-2x+7)'=12x^3-2$.

Производная произведения:$$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.$$Производная частного:$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}.$$Пример: $(x\cdot\sin x)'=\sin x+x\cdot\cos x$.

Производная сложной функции $f(g(x))$ равна $f'(g(x))\cdot g'(x)$:$$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\cdot g'(x).$$Сначала берём производную внешней функции, потом умножаем на производную внутренней. Пример: $(\sin 3x)'=3\cos 3x$, $\bigl((2x-1)^5\bigr)'=5(2x-1)^4\cdot 2=10(2x-1)^4$.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала находим производную как функцию, потом подставляем число. Пример: $f(x)=x^3-4x$, $f'(x)=3x^2-4$, $f'(2)=12-4=8$.