Объёмы многогранников

Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a$, $b$, $c$ равен $V=abc$. Объём куба с ребром $a$ равен $a^3$. Пример: параллелепипед $2\times 3\times 5$ имеет объём $2\cdot 3\cdot 5=30$.

Объём любой призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S\cdot h.$$У прямой призмы высота равна боковому ребру. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Пример: в основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, боковое ребро равно 10. Тогда $S=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6$, $V=60$.

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S\cdot h.$$Пример: в основании квадрат со стороной 6, высота 5, $V=\dfrac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=60$.

У правильной четырёхугольной пирамиды высота падает в центр $O$ квадрата. Половина диагонали основания равна $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, поэтому$$h^2=b^2-\frac{a^2}{2},$$где $b$ обозначает боковое ребро. Пример: $a=8$, $b=9$, $h^2=81-32=49$, $h=7$.

Отношение объёмов. Если пирамида и призма имеют общее основание и равные высоты, то объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы. Если все размеры тела уменьшить в $k$ раз, объём уменьшится в $k^3$ раз. Пример: плоскость через середины боковых рёбер пирамиды отсекает пирамиду, объём которой в $2^3=8$ раз меньше.