Возрастание, убывание и экстремумы функции
Теория
Признак возрастания и убывания. Если $f'(x)>0$ на интервале, функция на этом интервале возрастает. Если $f'(x)<0$, функция убывает. Пример: $f(x)=x^2-4x$, $f'(x)=2x-4$. При $x<2$ производная отрицательна, функция убывает. При $x>2$ производная положительна, функция возрастает.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими. Только в них функция может сменить возрастание на убывание.
Если в точке $x_0$ производная меняет знак с плюса на минус, $x_0$ является точкой максимума. Если знак меняется с минуса на плюс, это точка минимума. Точки максимума и минимума называют точками экстремума. Точкой экстремума называют само число $x_0$, а не значение $f(x_0)$. Если знак не меняется, экстремума нет. Пример: $f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2\ge 0$, в точке $0$ экстремума нет.
Порядок решения: найти $f'(x)$, решить уравнение $f'(x)=0$, отметить корни на числовой прямой, определить знак производной на каждом промежутке. Пример: $f(x)=x^3-3x$, $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Знаки слева направо: $+,\ -,\ +$. Точка максимума $x=-1$, точка минимума $x=1$.
Задачи по графику производной. Где график $y=f'(x)$ лежит выше оси $x$, функция $f$ возрастает. Где ниже, убывает. Точки экстремума $f$ находятся там, где график $f'$ пересекает ось $x$. Если график $f'$ только касается оси, знак не меняется и экстремума в этой точке нет.
Разобранный пример
Найдите точки экстремума функции $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$ и определите их тип.
1) Находим производную и раскладываем на множители:$$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3).$$
2) $f'(x)=0$ при $x=1$ и $x=3$.
3) Знаки $f'$: при $x<1$ плюс, на $(1;\,3)$ минус, при $x>3$ плюс.
4) В точке $1$ знак меняется с плюса на минус, это точка максимума. В точке $3$ знак меняется с минуса на плюс, это точка минимума.
Ответ: точка максимума 1, точка минимума 3.
Тренировка
Найдите точку минимума функции $f(x)=x^2-6x+5$.
Укажите промежуток, на котором функция $f(x)=x^2+4x-1$ убывает.
Найдите точку максимума функции $f(x)=x^3-3x^2-9x+4$.
На рисунке изображён график производной $y=f'(x)$ функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;\,6)$. Найдите точку максимума функции $f(x)$.
На рисунке изображён график производной $y=f'(x)$ функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;\,5)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$ на этом интервале.
Найдите точку минимума функции $y=(x^2-8x+8)e^x$.