Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Теория
Функция, непрерывная на отрезке $[a;\,b]$, принимает на нём наибольшее и наименьшее значения. Они достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках внутри отрезка.
Порядок решения: 1) найти $f'(x)$; 2) найти критические точки и оставить только те, что лежат внутри отрезка; 3) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка; 4) выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Пример: $f(x)=x^3-3x$ на отрезке $[0;\,2]$. $f'(x)=3x^2-3$, корни $1$ и $-1$. Точка $-1$ не лежит на отрезке. $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$. Наибольшее значение $2$, наименьшее $-2$.
Если производная на отрезке не меняет знак, функция на нём монотонна и критические точки не нужны. Возрастающая функция принимает наименьшее значение на левом конце, наибольшее на правом. У убывающей функции наоборот.
Если внутри отрезка одна точка экстремума и это точка максимума, в ней функция принимает наибольшее значение на отрезке. Для точки минимума так же получаем наименьшее значение.
Прикладные задачи. Величину, которую надо сделать наибольшей, записываем как функцию одной переменной и ищем её наибольшее значение. Пример: у прямоугольника с периметром 20 стороны $x$ и $10-x$, площадь $S(x)=x(10-x)$. $S'(x)=10-2x=0$ при $x=5$. Наибольшая площадь 25.
Разобранный пример
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$$ на отрезке $[-2;\,3]$.
1) Находим производную:$$f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2).$$
2) Критические точки $-1$ и $2$, обе лежат на отрезке $[-2;\,3]$.
3) Вычисляем значения на концах и в критических точках:$$f(-2)=-3,\quad f(-1)=8,\quad f(2)=-19,\quad f(3)=-8.$$
4) Наибольшее из этих чисел $8$, наименьшее $-19$.
Ответ: наибольшее значение $8$, наименьшее $-19$.
Тренировка
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^2-4x+7$ на отрезке $[0;\,5]$.
Производная функции $f(x)$ положительна на всём отрезке $[a;\,b]$. В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^3-3x^2+2$ на отрезке $[1;\,4]$.
На рисунке изображён график производной $y=f'(x)$ функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;\,5)$. В какой точке отрезка $[-3;\,3]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?
Найдите наименьшее значение функции $y=(x-9)e^{x-8}$ на отрезке $[7;\,9]$.
Число 12 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого слагаемого на второе было наибольшим. Найдите это наибольшее произведение.