Мир математикитемы школьной программыВойти
← Все темы
11 класс · тема 10

Координаты и векторы в пространстве

Теория

В пространстве вводят три попарно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ с общим началом $O$. Положение точки задают тремя координатами: $A(x;\,y;\,z)$. Пример: точка $A(2;\,3;\,4)$ находится на высоте 4 над плоскостью $Oxy$. У точки на оси $Ox$ координаты $y$ и $z$ равны нулю, у точки в плоскости $Oxy$ равна нулю координата $z$.

Чтобы найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, из координат конца вычитают координаты начала. Пример: $A(1;\,2;\,3)$, $B(4;\,0;\,5)$, вектор $\overrightarrow{AB}\{3;\,-2;\,2\}$.

Длина вектора $\vec a\{x;\,y;\,z\}$ равна$$\lvert\vec a\rvert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$Расстояние между точками равно длине вектора, который их соединяет. Пример: длина вектора $\{2;\,3;\,6\}$ равна $\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$.

Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов. Пример: середина отрезка с концами $(1;\,4;\,-2)$ и $(3;\,0;\,6)$ имеет координаты $(2;\,2;\,2)$.

Скалярное произведение векторов $\vec a\{x_1;\,y_1;\,z_1\}$ и $\vec b\{x_2;\,y_2;\,z_2\}$ равно$$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$$Если оно равно нулю, векторы перпендикулярны. Если оно больше нуля, угол между векторами острый, если меньше нуля, тупой. Пример: $\{1;\,2;\,3\}\cdot\{3;\,0;\,-1\}=3+0-3=0$.

Угол $\varphi$ между векторами находят по формуле$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert}.$$Пример: для векторов $\{1;\,0;\,1\}$ и $\{0;\,1;\,1\}$ скалярное произведение равно 1, длины равны $\sqrt{2}$, $\cos\varphi=\dfrac{1}{2}$, $\varphi=60^\circ$.

Разобранный пример

Даны точки $A(1;\,0;\,2)$, $B(2;\,1;\,2)$ и $C(1;\,1;\,3)$. Найдите угол $BAC$. Ответ дайте в градусах.

1) Вектор $\overrightarrow{AB}\{1;\,1;\,0\}$, вектор $\overrightarrow{AC}\{0;\,1;\,1\}$.

2) Скалярное произведение:$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1=1.$$

3) $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{2}$, $\lvert\overrightarrow{AC}\rvert=\sqrt{2}$.

4) Косинус угла:$$\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2},$$угол $A$ равен $60^\circ$.

Ответ: 60.

Тренировка

  1. Даны точки $A(3;\,-1;\,2)$ и $B(1;\,5;\,4)$. Найдите координаты середины отрезка $AB$.

  2. Найдите расстояние между точками $A(1;\,2;\,-3)$ и $B(5;\,-2;\,-1)$.

  3. Даны векторы $\vec a\{2;\,-1;\,3\}$ и $\vec b\{1;\,4;\,1\}$. Каким является угол между ними?

  4. Даны точки $A(1;\,0;\,2)$, $B(3;\,1;\,0)$ и $C(2;\,-1;\,4)$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

  5. При каком значении $m$ векторы $\vec a\{m;\,2;\,m\}$ и $\vec b\{3;\,-4;\,1\}$ перпендикулярны?

  6. Найдите угол между векторами $\vec a\{1;\,-1;\,0\}$ и $\vec b\{0;\,1;\,-1\}$. Ответ дайте в градусах.