Касательная к графику и физический смысл производной
Теория
Геометрический смысл производной. Значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$ между касательной и положительным направлением оси $x$:$$k=\operatorname{tg}\alpha=f'(x_0).$$
Уравнение касательной в точке $x_0$:$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$Пример: $f(x)=x^2$, $x_0=1$. $f(1)=1$, $f'(x)=2x$, $f'(1)=2$. Касательная: $y=1+2(x-1)$, то есть $y=2x-1$.
У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Если касательная параллельна прямой $y=kx+b$, то в точке касания $f'(x_0)=k$. Если касательная параллельна оси $x$, то $f'(x_0)=0$.
По рисунку угловой коэффициент находим по двум точкам касательной с целыми координатами:$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$Если касательная поднимается слева направо, $k>0$. Если опускается, $k<0$. Пример: касательная проходит через $(0;\,1)$ и $(2;\,4)$, $k=\dfrac{3}{2}=1{,}5$.
Физический смысл производной. Если точка движется по закону $s(t)$, то её скорость $v(t)=s'(t)$, а ускорение $a(t)=v'(t)$. Пример: $s(t)=t^3-2t$ (в метрах), $v(t)=3t^2-2$, $v(2)=10$ м/с, $a(t)=6t$, $a(2)=12$ м/с$^2$.
Разобранный пример
Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^3-2x$ в точке с абсциссой $x_0=1$.
1) Значение функции в точке:$$f(1)=1-2=-1.$$
2) Производная и её значение:$$f'(x)=3x^2-2,\quad f'(1)=3-2=1.$$
3) Подставляем в уравнение касательной:$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=-1+1\cdot(x-1).$$
4) Упрощаем:$$y=x-2.$$
Ответ: $y=x-2$.
Тренировка
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)=x^2-3x$ в точке с абсциссой $x_0=4$.
На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Укажите уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2+4x$ в точке с абсциссой $x_0=-1$.
Найдите угол между касательной к графику функции $f(x)=0{,}5x^2-3x+1$ в точке $x_0=4$ и положительным направлением оси $x$.
Прямая $y=-x+c$ касается графика функции $f(x)=x^2+3x+1$. Найдите $c$.
Точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=\frac{t^3}{3}-3t^2+5t+2$$ ($x$ в метрах, $t$ в секундах от начала движения). В какой момент времени её скорость была равна 21 м/с? Ответ дайте в секундах.