Первообразная и интеграл

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на промежутке, если $F'(x)=f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка. Пример: $F(x)=x^3$ является первообразной для $f(x)=3x^2$, потому что $(x^3)'=3x^2$. Любая другая первообразная имеет вид $F(x)+C$, где $C$ некоторое число.

Таблица первообразных (функция $\to$ первообразная):$$k\to kx;\quad x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\ne -1);\quad \frac{1}{x}\to\ln x\ (x>0);$$ $$e^x\to e^x;\quad \sin x\to-\cos x;\quad \cos x\to\sin x;\quad \frac{1}{\sqrt{x}}\to 2\sqrt{x}.$$Первообразная суммы равна сумме первообразных, постоянный множитель выносится. Для $f(kx+b)$ первообразная равна $\dfrac{1}{k}\cdot F(kx+b)$. Пример: для $\cos 3x$ первообразная $\dfrac{1}{3}\sin 3x$.

Чтобы найти первообразную, график которой проходит через данную точку, записываем общий вид $F(x)+C$ и находим $C$ подстановкой координат точки. Пример: $f(x)=2x$, $F(x)=x^2+C$. Если $F(1)=5$, то $1+C=5$, $C=4$, $F(x)=x^2+4$.

Формула Ньютона–Лейбница: интеграл от $a$ до $b$ функции $f(x)$ равен $F(b)-F(a)$, где $F(x)$ любая первообразная для $f(x)$:$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$Пример: $\displaystyle\int_1^2 3x^2\,dx=2^3-1^3=7$.

Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком неотрицательной функции $y=f(x)$, осью $x$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. Её площадь равна интегралу от $a$ до $b$ функции $f(x)$:$$S=\int_a^b f(x)\,dx.$$Пример: площадь под графиком $y=x^2$ на отрезке $[0;\,3]$ равна $\dfrac{3^3}{3}-0=9$.

Если на отрезке $[a;\,b]$ график $y=f(x)$ лежит не ниже графика $y=g(x)$, площадь фигуры между ними равна интегралу от $a$ до $b$ функции $f(x)-g(x)$:$$S=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$Пределы $a$ и $b$ обычно находят как абсциссы точек пересечения графиков.