Синус, косинус и тангенс любого угла

Повернём точку $P_0(1;\,0)$ единичной окружности на угол $\alpha$ и получим точку $P_\alpha(x;\,y)$. Косинусом угла $\alpha$ называют абсциссу этой точки, синусом называют её ординату:$$\cos\alpha=x,\quad \sin\alpha=y.$$Пример: при $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ получается точка $(0;\,1)$, поэтому $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$, $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$.

Тангенс угла $\alpha$ равен $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, он определён при $\cos\alpha\ne 0$. Котангенс равен $\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, он определён при $\sin\alpha\ne 0$. Пример: $\operatorname{tg}\pi=0:(-1)=0$, а $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2}$ не существует.

Точка $P_\alpha$ лежит на единичной окружности, поэтому $x^2+y^2=1$, то есть$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$Отсюда $-1\le\sin\alpha\le 1$ и $-1\le\cos\alpha\le 1$. Пример: равенство $\cos\alpha=1{,}5$ невозможно.

Знаки зависят от четверти. В I четверти синус и косинус положительны. Во II синус положителен, косинус отрицателен. В III оба отрицательны. В IV синус отрицателен, косинус положителен. Тангенс положителен в I и III четвертях. Пример: $\cos 200^\circ<0$, так как угол $200^\circ$ лежит в III четверти.

Точки, соответствующие углам $\alpha$ и $-\alpha$, симметричны относительно оси $Ox$. Поэтому$$\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha.$$Пример: $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$.

Через полный оборот точка возвращается на место:$$\sin(\alpha+2\pi k)=\sin\alpha,\quad \cos(\alpha+2\pi k)=\cos\alpha.$$У тангенса период $\pi$: $\operatorname{tg}(\alpha+\pi k)=\operatorname{tg}\alpha$. Пример: $\cos 390^\circ=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.