Тригонометрические формулы

Основное тождество:$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$Если разделить его на $\cos^2\alpha$, получится$$1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}.$$Пример: $\cos\alpha=0{,}6$, тогда $\sin^2\alpha=1-0{,}36=0{,}64$.

Формулы приведения сводят углы $\pi\pm\alpha$, $2\pi-\alpha$, $\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha$, $\dfrac{3\pi}{2}\pm\alpha$ к углу $\alpha$. Для $\pi\pm\alpha$ и $2\pi-\alpha$ название функции сохраняется. Для $\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha$ и $\dfrac{3\pi}{2}\pm\alpha$ синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс.

Знак ставят такой, какой имеет исходная функция, если считать $\alpha$ острым углом. Пример: угол $\pi-\alpha$ лежит во II четверти, косинус там отрицателен, поэтому $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$. Угол $\dfrac{3\pi}{2}+\alpha$ лежит в IV четверти, синус там отрицателен, поэтому $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha$.

Формулы сложения:$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$Пример:$$\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$

Формулы двойного угла:$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$$$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha.$$Пример: если $\sin\alpha=0{,}6$, то $\cos 2\alpha=1-2\cdot 0{,}36=0{,}28$.

Формулы читают и справа налево. Пример: $\sin 50^\circ\cos 10^\circ+\cos 50^\circ\sin 10^\circ=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.