Простейшие тригонометрические уравнения

Арксинусом числа $a$, где $-1\le a\le 1$, называют угол из отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. Арккосинус числа $a$ это угол из отрезка $[0;\,\pi]$, косинус которого равен $a$. Арктангенс числа $a$ это угол из интервала $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $a$. Пример: $\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}$, $\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$, $\operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$.

Уравнение $\cos x=a$ при $-1\le a\le 1$ имеет корни$$x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$Если $\lvert a\rvert>1$, корней нет. Пример: $\cos x=\dfrac{1}{2}$, $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

Уравнение $\sin x=a$ при $-1\le a\le 1$ имеет корни$$x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$Удобно записывать их двумя сериями: $x=\arcsin a+2\pi n$ и $x=\pi-\arcsin a+2\pi n$. Пример: $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

Уравнение $\operatorname{tg}x=a$ имеет корни при любом $a$:$$x=\operatorname{arctg}a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$Пример: $\operatorname{tg}x=-1$, $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

Частные случаи: $\sin x=0$ при $x=\pi n$, $\sin x=1$ при $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $\sin x=-1$ при $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$; $\cos x=0$ при $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $\cos x=1$ при $x=2\pi n$, $\cos x=-1$ при $x=\pi+2\pi n$.

На окружности корни уравнения $\sin x=a$ видны как точки пересечения окружности с прямой $y=a$, корни уравнения $\cos x=a$ как точки пересечения с прямой $x=a$. Пример: прямая $y=\dfrac{1}{2}$ пересекает окружность в точках $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$.