Числовая окружность и радианная мера угла

Единичной называют окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Точку $P_0(1;\,0)$ берут за начало отсчёта. Поворот против часовой стрелки считают положительным, по часовой стрелке отрицательным. Каждому углу $\alpha$ соответствует точка $P_\alpha$, в которую переходит $P_0$ при повороте на угол $\alpha$.

Угол в 1 радиан опирается на дугу, длина которой равна радиусу. Полный оборот равен $360^\circ$, или $2\pi$ радиан. Значит,$$180^\circ=\pi\ \text{рад}.$$Пример: $90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$, $60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$, $45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$.

Чтобы перевести градусы в радианы, умножают на $\dfrac{\pi}{180}$. Чтобы перевести радианы в градусы, вместо $\pi$ подставляют $180^\circ$. Пример: $150^\circ=150\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$. Обратно: $\dfrac{3\pi}{4}=3\cdot 180^\circ:4=135^\circ$.

Длина дуги окружности радиуса $R$ с центральным углом $\alpha$ радиан равна$$l=\alpha R.$$Пример: $R=5$ см, $\alpha=2$ рад, тогда $l=10$ см.

Углы $\alpha$ и $\alpha+2\pi k$, где $k$ целое, дают одну и ту же точку окружности. Пример: $390^\circ=360^\circ+30^\circ$, поэтому углам $390^\circ$ и $30^\circ$ соответствует одна точка.

Оси делят окружность на четыре четверти. I четверть от $0$ до $\dfrac{\pi}{2}$, II от $\dfrac{\pi}{2}$ до $\pi$, III от $\pi$ до $\dfrac{3\pi}{2}$, IV от $\dfrac{3\pi}{2}$ до $2\pi$. Пример: угол $200^\circ$ лежит в III четверти, так как $180^\circ<200^\circ<270^\circ$.