Прямые и плоскости в пространстве
Теория
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Пример: в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые $AB$ и $CC_1$ скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми находят так: одну из них переносят параллельно до пересечения с другой.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости. Пример: $A_1B_1\parallel AB$, поэтому прямая $A_1B_1$ параллельна плоскости $(ABC)$.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Тогда она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Пример: $AA_1\perp AB$ и $AA_1\perp AD$, значит, $AA_1\perp(ABC)$ и $AA_1\perp AC$.
Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного на плоскость. Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Пример: в кубе проекция диагонали $A_1C$ на плоскость $(ABC)$ есть $AC$, искомый угол $A_1CA$. При ребре 1 получаем $\operatorname{tg}\angle A_1CA=AA_1:AC=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное. Пример: в кубе $BD\perp AC$, а $AC$ есть проекция $A_1C$, значит, $BD\perp A_1C$.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:$$d^2=a^2+b^2+c^2.$$Пример: $a=1$, $b=2$, $c=2$, $d^2=1+4+4=9$, $d=3$.
Разобранный пример
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно: $AB=3$, $AD=4$, $AA_1=1{,}8$. Найдите расстояние от вершины $A_1$ до прямой $BD$.
1) По теореме Пифагора в основании:$$BD^2=3^2+4^2=25,\quad BD=5.$$
2) В треугольнике $ABD$ проводим высоту $AH$:$$AH=AB\cdot AD:BD=12:5=2{,}4.$$
3) $AH\perp BD$, и $AH$ есть проекция $A_1H$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трёх перпендикулярах $A_1H\perp BD$.
4) Из прямоугольного треугольника $AA_1H$:$$A_1H^2=AA_1^2+AH^2=3{,}24+5{,}76=9,\quad A_1H=3.$$
Ответ: 3.
Тренировка
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно: $AB=2$, $AD=3$, $AA_1=6$. Найдите длину диагонали $B_1D$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ определите взаимное расположение прямых $AB$ и $CC_1$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AA_1$ и $BC_1$. Ответ дайте в градусах.
Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 2. Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $(BDD_1)$.
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно: $AB=3$, $AD=4$, $AA_1=10$. Найдите тангенс угла между прямой $B_1D$ и плоскостью $(ABC)$.
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно: $AB=15$, $AD=20$, $AA_1=5$. Найдите расстояние от вершины $A_1$ до прямой $BD$.