Показательная функция и показательные уравнения

Показательной называют функцию $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne 1$. Она определена при всех $x$ и принимает только положительные значения. Пример: $y=2^x$, $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$.

При $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ убывает. График любой такой функции проходит через точку $(0;\,1)$, потому что $a^0=1$. На рисунке графики $y=2^x$ и $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$, то есть $y=0{,}5^x$. Они симметричны относительно оси $y$.

Свойства степеней:$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad a^m:a^n=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn},$$$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}.$$Пример: $2^5\cdot 2^{-3}=2^2=4$, $8^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4$.

Уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$. Поэтому обе части приводят к одному основанию. Пример: $3^{x-1}=27$, $3^{x-1}=3^3$, $x-1=3$, $x=4$.

Если в уравнении есть $4^x$ и $2^x$, делают замену $t=2^x$, где $t>0$. Пример: $4^x-3\cdot 2^x-4=0$. Получаем $t^2-3t-4=0$, $t=4$ или $t=-1$. Корень $t=-1$ не подходит, так как $2^x>0$. Из $2^x=4$ находим $x=2$.

Неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ при $a>1$ равносильно $f(x)>g(x)$. При $0<a<1$ знак меняется: $f(x)<g(x)$. Пример: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x>\dfrac{1}{8}$, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x>\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$, $x<3$.