Призма и пирамида: площадь поверхности

У призмы два равных основания, они лежат в параллельных плоскостях. Боковые грани призмы являются параллелограммами. Если боковые рёбра перпендикулярны основанию, призму называют прямой, её боковые грани прямоугольники. Правильная призма прямая, и в её основании лежит правильный многоугольник.

Площадь боковой поверхности прямой призмы:$$S_{\text{бок}}=P\cdot h,$$где $P$ периметр основания, $h$ высота (длина бокового ребра). Площадь полной поверхности:$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2\cdot S_{\text{осн}}.$$Пример: сторона основания правильной четырёхугольной призмы 3, высота 5. $S_{\text{бок}}=12\cdot 5=60$, $S_{\text{полн}}=60+2\cdot 9=78$.

В основании пирамиды лежит многоугольник, боковые грани являются треугольниками с общей вершиной $S$. Пирамиду называют правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проектируется в его центр $O$. Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведённую из вершины $S$, называют апофемой.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot P\cdot l,$$где $l$ апофема. $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$. Пример: сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 6, апофема 5. $S_{\text{бок}}=\dfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=60$, $S_{\text{полн}}=60+36=96$.

Апофему $SM$ находят из прямоугольного треугольника $SOM$ (рисунок). У правильной четырёхугольной пирамиды $OM$ равно половине стороны основания. Пример: сторона 8, высота 3. $OM=4$, $SM^2=3^2+4^2=25$, $SM=5$.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна$$a^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}.$$Пример: при $a=4$ площадь равна $16\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$. Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести таких треугольников.