Логарифмические уравнения и неравенства
Теория
Простейшее уравнение $\log_a x=b$ имеет один корень$$x=a^b.$$Пример: $\log_3 x=4$, $x=3^4=81$.
Уравнение $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ заменяют уравнением $f(x)=g(x)$. Найденные корни проверяют: оба выражения под логарифмом должны быть положительны. Пример: $\log_2(x+3)=\log_2(2x-1)$, $x+3=2x-1$, $x=4$. Проверка: $4+3=7>0$, $2\cdot 4-1=7>0$.
Сумму логарифмов заменяют логарифмом произведения. Пример: $\log_6 x+\log_6(x-1)=1$, $x(x-1)=6$, $x^2-x-6=0$, $x=3$ или $x=-2$. При $x=-2$ логарифм не определён, поэтому корень один: $x=3$.
Если логарифм входит в уравнение в квадрате, делают замену. Пример: $(\log_2 x)^2-3\cdot\log_2 x+2=0$. Пусть $t=\log_2 x$, тогда $t^2-3t+2=0$, $t=1$ или $t=2$. Отсюда $x=2$ или $x=4$.
Неравенство $\log_a f(x)<\log_a g(x)$ при $a>1$ сохраняет знак: $f(x)<g(x)$. При $0<a<1$ знак меняется. Выражения под логарифмом должны быть положительны. Пример: $\log_2 x\le 2$, $\log_2 x\le\log_2 4$, $x\le 4$. С учётом $x>0$ получаем $0<x\le 4$. На рисунке график $y=\log_2 x$ лежит не выше прямой $y=2$ как раз при $0<x\le 4$.
Пример с основанием меньше 1: $\log_{\frac{1}{3}}x>-1$, $\log_{\frac{1}{3}}x>\log_{\frac{1}{3}}3$. Знак меняется: $x<3$. С учётом $x>0$ получаем $0<x<3$.
Разобранный пример
Решите уравнение$$\log_3(x+1)+\log_3(x+3)=1.$$
1) Оба выражения под логарифмом положительны при $x>-1$.
2) Сумму логарифмов заменяем логарифмом произведения:$$\log_3\big((x+1)(x+3)\big)=1,\quad (x+1)(x+3)=3.$$
3) Раскрываем скобки:$$x^2+4x+3=3,\quad x^2+4x=0,\quad x=0\ \text{или}\ x=-4.$$
4) $x=-4$ не подходит, так как $x+1<0$. Остаётся $x=0$.
Ответ: 0.
Тренировка
Решите уравнение $\log_4(x-3)=2$.
Решите уравнение $\log_5(x^2-4)=\log_5(3x)$.
Решите уравнение $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.
Решите неравенство $\log_3(x-2)\le 2$.
Решите уравнение$$(\log_3 x)^2-\log_3 x-2=0.$$В ответе укажите произведение корней.
Сколько целых решений имеет неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x-1)\ge -3$?