Логарифм и его свойства

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называют показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Обозначение: $\log_a b$. Здесь $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$. Пример: $\log_2 8=3$, так как $2^3=8$; $\log_3\dfrac{1}{9}=-2$, так как $3^{-2}=\dfrac{1}{9}$.

Основное логарифмическое тождество:$$a^{\log_a b}=b.$$Кроме того, $\log_a 1=0$ и $\log_a a=1$. Десятичный логарифм пишут $\lg b$, это $\log_{10}b$. Натуральный логарифм пишут $\ln b$, его основание $e\approx 2{,}7$. Пример: $5^{\log_5 7}=7$, $\lg 1000=3$, $\ln e=1$.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:$$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c.$$Логарифм частного равен разности:$$\log_a\frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c.$$Пример: $\lg 4+\lg 25=\lg 100=2$, $\log_3 54-\log_3 2=\log_3 27=3$.

Логарифм степени:$$\log_a b^k=k\cdot\log_a b.$$Пример: $2\cdot\log_6 3+\log_6 4=\log_6 9+\log_6 4=\log_6 36=2$.

Переход к новому основанию:$$\log_a b=\frac{\log_m b}{\log_m a}.$$Пример: $\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}$. Отсюда же получается правило цепочки: $\log_2 3\cdot\log_3 8=\log_2 8=3$.

Функция $y=\log_a x$ определена при $x>0$. При $a>1$ она возрастает, при $0<a<1$ убывает. График проходит через точку $(1;\,0)$. На рисунке график $y=\log_2 x$. Он проходит через точки $(2;\,1)$, $(4;\,2)$, $(8;\,3)$.