Корень n-й степени и степень с рациональным показателем

Корнем $n$-й степени из числа $a$ называют число, $n$-я степень которого равна $a$. Пример: числа $3$ и $-3$ являются корнями четвёртой степени из $81$, так как $3^4=(-3)^4=81$.

Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$. Его обозначают $\sqrt[n]{a}$. Пример: $\sqrt[4]{81}=3$, $\sqrt[3]{8}=2$.

Корень нечётной степени можно извлечь из любого числа: $\sqrt[3]{-27}=-3$, так как $(-3)^3=-27$. Корня чётной степени из отрицательного числа не существует.

Свойства корней при $a\ge 0$, $b\ge 0$:$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^k=\sqrt[n]{a^k},\quad \sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}\ \ (b>0).$$Пример: $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$. Из-под корня выносят множитель: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}$.

Степень с рациональным показателем при $a>0$:$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$Пример: $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$. Удобнее сначала извлечь корень: $8^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4$. Отрицательный показатель даёт обратное число: $27^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}$.

Для таких степеней верны обычные свойства:$$a^p\cdot a^q=a^{p+q},\quad a^p:a^q=a^{p-q},\quad (a^p)^q=a^{pq},\quad (ab)^p=a^p\cdot b^p.$$Пример: $5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^1=5$.